Eléments de Physique.

- Résumés -

 

1 – La dérivée

La fonction dérivée d'une fonction f(x) ou "dérivée" est la pente de la tangente au graphe au point de coordonnées [ x , f(x) ].

En Physique, le sens géométrique de la dérivée f ' est très important:

La dérivée est la pente de la droite tangente au graphe, c'est à dire son coefficient directeur: a. C'est aussi la tangente de l'angle a entre la droite tangente et l'axe des x.

La dérivée est bien sûr également une fonction de x.

La dérivée d'une fonction caractérise sa variation.

 

 

Pour mémoire la définition de la dérivée de f(x):

permet de démontrer les propriétés de bases. Par la suite, des tables seront utilisées:

 

 

Table élémentaire de dérivation:

 

Fonctions:

Dérivées:

k = Constante

0

x

1

k x

k

sin x

cos x

cos x

- sin x

tan x

Ln x

 

 

 

 

Opérations de dérivation:

 

Groupements de fonctions:

Dérivées:

k f(x) ; où k est une constante

k f '

 

 

Exemples à vérifier:

Fonctions de x:

Dérivées:

 

 

2 – Mouvement rectiligne

Un point se déplace sur une droite. Pour analyser son mouvement, il faut utiliser un référentiel, c'est à dire un observateur disposant d'un repère des coordonnées, ici une seule variable suffit, et d'une horloge donnant la date t.

Le repère de référence est constitué ici d'un point origine et d'un vecteur unitaire déterminant l'unité de longueur et l'orientation de la droite.

Il est pratique de représenter graphiquement le mouvement en traçant la valeur de x en fonction de t:

Le point M, à l'instant t occupe la position x. La droite tangente au graphe admet une pente qui vaut: tan a. Cette pente représente à l'instant t la variation de position par rapport au temps que l'on qualifiera de vitesse instantanée v:

Lorsque le temps s'écoule, sur le graphe on observe en général, que la vitesse ne reste pas constante. Par la suite, il sera utile de considérer la variation de la vitesse par rapport au temps que l'on nomme accélération a:

 

3 – Mouvement rectiligne uniforme

Un mouvement est qualifié ainsi lorsque sa position est une fonction linéaire du temps:

x0 et v0 étant des constantes.

Dans ce cas la vitesse v reste constante:

et l'accélération a est nulle:

Sa représentation graphique est une droite:

 

4 – Mouvement rectiligne uniformément accéléré

C'est un mouvement avec une accélération constante. Pour obtenir cette propriété, sachant que a0 = cte, v0 = cte, x0 = cte, il faut dériver 2 fois l'expression de la position suivante:

La représentation graphique du mouvement est une parabole.

 

5 – Trigonométrie de base

Dans un triangle rectangle:

par rapport à l'angle q , on définit les lignes trigonométriques suivantes:

le sinus :

le cosinus :

la tangente :

 

Pour manipuler aisément ces quantités, le "cercle trigonométrique" est fondamental:

son rayon étant unitaire, q est encore la longueur de l'arc sous-tendu.

 

Le sinus est une fonction impaire:

alors que le cosinus est paire:

 

 

Quelques propriétés des fonctions trigonométriques:

 

6 – Mouvement rectiligne sinusoïdal:

C'est un mouvement périodique:

xM est une constante représentant l'amplitude du mouvement, w est sa pulsation également constante, j dernière constante est la phase, c'est à dire la translation du graphe par rapport à une fonction sinus:

La vitesse s'obtient par dérivation:

ainsi que l'accélération:

On remarque alors la relation qui existe, à chaque instant, entre l'accélération et la position:

On nomme cette équation "oscillateur harmonique", on verra que c'est l'équation du mouvement du système oscillant suivant: